아래 문자는 네이버 블로그 검색 유입을 위해 위 사진의 글에서 수식을 제외한 부분만 복사하여 붙여넣은 것입니다. 따라서 읽지 않아도 돼요.
네이버 블로그의 수식 편집기가 한글 문서의 수식 편집기보다 더 불편해서, 설상가상으로 스마트 에디터 ONE의 수식 편집기는 문장 바로 옆에 수식하지 못해서 부득이 이런 방식으로 글을 쓰게 되었습니다.12.3 편도함수(Partial Derivatives)의 문제에서 특별한 언급 없이 1계 편도함수가 연속, 2계 편도함수가 연속이라는 조건을 부여할 때가 있는데 이는 모든 1계, 2계 편도함수가 연속이라는 의미이다. 즉, 가 2변수 함수일 때 1계 편도 함수가 연속이면 가 모두 연속이고, 2계 편도 함수가 연속이면 가 모두 연속이다.Problem 12.3.1 때의 값을 구하시오.sol) 모든 것에 대해서이기 때문에 편도함수의 정의에 의하면이다. ■Problem 12.3.2 때에 대해서만 포함한 식으로 나타내십시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.■Problem12.3.2는, 의 편도함수를 직접 구하고를 대입하고자 하면 계산이 복잡하다. 그러나 편도함수 정의를 사용하면 계산량이 줄어드는 데 그 이유는 그래서다.Problem 12.3.2와 같이 미분적분학에서 를 계산할 때 이면 편도함수의 정의를 이용해 계산하는 것이 보다 용이한 경우가 많다.Problem 12.3.3에 대한 값을 구하시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.따라서 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.
■Problem 12.3.3으로부터를 얻을 때, 실제로는 인 경우와 인 경우로 나누어 풀어야 한다. 사실 극한은 이 분모에 담겨 있기 때문이다. 그러나 편의상 case를 나누지 않고 계산하는 편이다. 를 얻을 때도 같은 이유로 설명을 생략했다.Claraut’s the orem에 따르면 Problem 12.3.3에서 주어진 함수에 대해, 둘 중 적어도 하나는부터 연속이 아님을 알 수 있지만 실제로는 모두 불연속임을 증명해 보자.의 함수식은 분자, 분모가 모두 다항식이기 때문에 Claraut’s the orem에 따르면 원점을 제외한 모든 점에서가 성립한다. 그리고 Problem 12.3.3의 해석 과정을 그대로 따르면 일할 때임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.따라서 다음을 얻는다.때문에 모든 것에 극한이 존재하지 않는다. 따라서 모두 불연속이다.미분적분학에서 1계, 2계 편도함수의 연속 여부를 판정하는 문제를 풀 때는 편도함수를 직접 계산하기보다는 Problem 12.3.3처럼 편도함수의 정의를 사용하는 방향으로 접근하는 것이 편할 경우가 많다.이를 위한 팁을 소개한다. 가 주어졌을 때, 가부터 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때, 먼저 편도함수의 정의를 이용해 를 계산하는 것을 권장한다.마찬가지로 가로부터 연속인지 불연속인지를 판정하는 문제를 풀 때도 편도함수의 정의를 이용해 를 먼저 계산하는 것을 권장한다.이 방법을 사용해서 다음 문제를 풀어 보자.Problem 12.3.4에 대해 가에서 연속인지 불연속인지를 판정하시오.sol) 편도함수의 정의에 의하면 다음을 얻는다.따라서 그러므로 ‘-에는’에서 불연속적이다. ■Problem 12.3.4에서 편도함수의 정의에 의하면이기 때문이다. 따라서 가에서 연속인지 판정하려면 편도함수를 직접 계산해야 한다. 직접 계산하면 다음을 얻는다.이면이므로 길에서 불연속성이라는 것을 알 수 있다.Problem 12.3.52 변수 함수는, 의 때 다음과 같이 정의되고 있다.이때 2변수 함수를 다음과 같이 정의하자. 의 함수 값을 몇 개 찾아보면 다음 물음에 답하시오.(a) 모든 것을 증명하라.(b) 함수를 로 정의하자. 뒷면임을 증명하시오.sol)의 함수 값을 다음과 같이 좌표 평면상에 나타내자. 노란색으로 표시된 부분은 을 만족하는 영역이다.
(a)모든 뒷면에 대한 것이므로 편도함수의 정의에 따른 것임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 일임을 증명하면 충분하다.그림을 보면 일할 때다. 다음으로 으면서에 접근할 때가 어떻게 달라지는지 보자.임을 만족한다는 것은 존재한다. 따라서 이때 점은 두 곡선 사이에 존재한다. 그래서 일 때가 충분히 작으면 을 만족하고 다음을 얻는다.
따라서, 모든 것에 대해서이다. ■(b). 이면 모든 것에 대해서이므로, 다음을 얻는다.뒷면이기 때문이다. 따라서 를 가정하자.case1)의 경우이기 때문이다. 그리고 뒷면이므로 다음을 얻는다.
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case 2)의 경우로, 주어진 범위에서 를 만족한다.그리고 있기 때문에, case1에 의한 도가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.
그래서 이면이다. ■Problem 12.3.5이며, Problem 12.3.5에서 주어지는 다음 등식의 반례가 된다.
미적분 (1) 또는 공학수학 (1)에서 편의상 1변수를 나타내는 것을 배웠다. 편도함수도 비슷하지만, 2변수를 편의상 다음과 같이 나타낸다.3 변수 함수에 대해서도 마찬가지로 편의상 다음과 같이 나타낸다.
교재에서는 Claraut’s the orem을 가 전부를 포함한 적당한 Opendisk 위에서 연속했을 때 성립한다고 소개하지만, 실제로는 이보다 조금 약한 조건에서도 성립한다. 다음 문제를 풀어보자.Problem 12.3.6 함수에 대해 점을 포함한 Opendisk 상이 연속이면 존재하고 있음을 증명하시오.sol) A를 포함한 Opendisk 이므로 다음 그림과 같이 4점을 정점으로 하는 직사각형이 내부에 존재하도록 하는 것이 아니라 실수가 존재한다.
라고 하자. 그렇다면 이라고 하는 때이므로, Meanvalue the orem에 의하면, 다음을 만족하느냐 하는 사이에 존재하며, Meanvalue the orem을 한번 더 사용한다면 을 만족하느냐 하는 사이에 존재한다. 이때는 에 의존하지 않는다.
한편으로 하면 -이러므로를 얻을 수 있다. 를 고정시키고, 양변에 극한을 취하면 위에서 연속이기 때문에 다음을 얻는다.따라서 ‘이면-이고’는 위에서부터 연속되기 때문에 다음을 얻는다.따라서 존재하고 있다. ■
